小学数学教科书 知识点整理

创建时间:
2015-11-15 11:24
最近更新:
2018-07-12 17:44

义务教育教科书 数学 一年级 上册

人民教育出版社
2014年7月第9次印刷

1 准备课

  • 数一数 1~10
  • 多少

2 位置

  • 上、下、前、后、左、右

3 1~5 的认识和加减法

  • 1~5 书写/书法
  • 等号 =、大于号 >、小于号 <
  • 第几 (第 1、第 2、第 3...)
  • 分与合 (减与加)
  • 加法、加号 +、读作 "3 加 1 等于 4"
  • 减法、减号 -、读作 "4 减 1 等于 3"
  • 0、书写/书法、两个同样的数相减得 0。

4 认识图形 (一)

  • 形状 (长方体、正方体、圆柱、球)
  • 把球放在 3 个长方体上面,可以放稳。

5 6~10 的认识和加减法

  • 6~10 书写/书法
  • 我国古代用算筹来表示数。
  • 连加连减、加减混合 (计算过程、中间结果)
  • 10 以内所有的加法算式 (加法口诀表)
  • 10 以内所有的减法算式 (减法口诀表)
  • 古埃及的象形数字。

6 11~20 各数的认识

  • 读作 "十一、十二、十三..."
  • 个位、十位
  • __加数 + 加数 = 和
  • 被减数 - 减数 = 差
  • 小丽排第 10,小宇排第 15,小丽和小宇之间有 4 人。
  • 今天星期一,运动会推迟 3 天再开。推迟后,运动会星期四开。
  • 今天我从第 10 页读到第 14 页,明天该读第 15 页了。我今天读了 5 页。
  • 我觉得有时候 2 个 2 个地数更方便。

7 认识钟表

  • 学会看时间 (时、分。时针、分针。日晷、铜漏壶)
  • 知道一天有两个 9 时,一个在上午、一个在晚上。

8 20 以内的进位加法

  • 数数法
  • 凑十法: 把加法算式中的较大的加数凑成 10。9 + 4 = (9 + 1) + 38 + 5 = (8 + 2) + 3
  • 20 以内的所有进位加法算式 (加法口诀表)

10 以内所有的加/减法算式 page 69

义务教育教科书 数学 一年级 下册

人民教育出版社
2014年12月第6次印刷

1 认识图形 (二)

  • 平面图形 (长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆)
  • 用两个同样的 三角形 可以拼成一个 平行四边形。
  • "七巧板" 是我国古代的一种拼板玩具,由 7 块板组成,拼出来的图案变化万千。
  • 一个 正方形 能剪成 两个相同的 长方形。
  • 一个 正方形 能剪成 两个相同的 三角形。
  • 我发现有的物体的表面是 平面图形。

2 20 以内的退位减法

  • 退位
  • 一共有 10 个男生,老师让相邻两个男生之间站一个女生,一共可以站进多少个女生?
  • 一共有 16 人来踢球,已经来了 9 人。有一队踢进了 4 个球。还有几人没来? ("踢进了 4 个" 这个信息没用上 / 干扰信息)
  • 20 以内的所有退位减法算式 (减法口诀表)
  • 我可以 想加法 来 算减法。
  • 15 - 9 = 6 的两种算法: 10 - 9 + 5 = 69 + 6 = 15
  • 用不上的信息、干扰信息。

3 分类与整理

  • 按形状分类、按颜色分类
  • 按年龄分组、按性别分组
  • 分类的标准不同,分类的结果就不同。
  • 用图表表示分类的结果真清楚啊!
  • 学会了分类统计

4 100 以内数的认识

  • 29 添 1 是 30。
  • 99 添 1 是 100。
  • 十根 十根 地数,10 个 十 是 100。
  • 35 是 3 个 10 和 5 个 1 组成的。
  • 个位、十位、百位; 写作、读作。
  • 数的顺序、比较大小。
  • 首次出现 除法: 58 个珠子,10 个穿一串,能穿 5 串,还剩 8 个。
  • 整十数 加 一位数 及相应的 减法: 30 + 2 = 3232 - 2 = 30

5 认识人民币

  • 人民币的单位有 元、角、分。

6 100 以内的加法和减法 (一)

  • 整十数加、减整十数。
  • 两位数加一位数、整十数 (进位)。
  • 两位数减一位数、整十数 (退位/借位)。
  • 优先级: 一个算式里有括号,要先算括号里面的。

7 找规律

义务教育教科书 数学 二年级 上册 (没书、TODO)

人民教育出版社
2013 年 5 月第 1 版 ISBN 978-7-107-26359-0

  1. 长度单位 (拃、厘米、米。线段)
  2. 100 以内的加法和减法 (口算、笔算。竖式及其简便写法。对位。笔算加减法相同数位要对齐,都从个位算起。不退位减、退位减。连加、连减、加减混合)
  3. 角的初步认识 (角、顶点、边、直角、锐角 - 比直角小、钝角 - 比直角大。从一个点起,用尺子向不同的方向画两条笔直的线,就画成一个角)
  4. 表内乘法 (1-6、7-9、有的加法用乘法算式表示比较简便。两千多年前中国人把口诀刻在 "竹木简" 上,从 "九九八十一" 开始,也叫 "九九歌",七百多年前才倒过来,从 "一一得一" 开始)
  5. 观察物体 (从不同的方向观察物体)
  6. 认识时间
  7. 数学广角 (奥数?)
  8. 总复习 (出现了 "+-×<>=" 这几个符号)
  9. 《乘法口诀表》 在封底

义务教育教科书 数学 二年级 下册

人民教育出版社
2015年11月第6次印刷

1 数据收集整理

  • 学会通过调查收集数据。
  • 收集和整理数据的方法不唯一,可以采用画 "正" 字、画 "✔"、画 "●" 的方法,其中采用画 "正" 字的方法既方便又快捷。
  • 用 "正" 字 计数/记录数据很方便。
  • 将统计的结果用表格的形式展示出来,这种表格就是简单的统计表。

2 表内除法 (一)

  • 每份分得同样多,叫 "平均分"。
  • 除法/除号。
  • 12 ÷ 4 = 3 读作 "12 除以 4 等于 3"。
  • 被除数、除数、商。
  • 1659 年,瑞士数学家拉恩 (J.H.Rahn) 在他的 《代数》 一书中,第一次用 "÷" 表示除法。"÷" 用一条横线把两个圆点分开,恰好表示平均分的意思。
  • 用 乘法口诀 求商/计算除法。
  • 任何数 除 自身 等于 1。
  • 任何数 除 1 等于 自身。

3 图形的运动 (一)

  • 轴对称图形、剪纸
  • 平移、旋转

4 表内除法 (二)

  • 表内除法 (一) 的练习与巩固

5 混合运算

  • 优先级: 在没有括号的算式里,只有 加、减法 或 只有 乘、除法,都要从左往右按顺序计算。
  • 优先级: 在没有括号的算式里,如果有 乘、除法,又有 加、减法,要先算 乘、除法,后算 加、减法。
  • 优先级: 算式里有括号的,要先算括号里面的。
  • 综合算式、运算顺序

6 有余数的除法

  • 余数: 7 个草莓摆 3 盘,还剩 1 个。7 ÷ 3 = 2 ... 1
  • 观察发现: 余数 总是 小于 除数。
  • 除法 也可以写成 竖式。除法竖式可表示: 被除数、除数、商、商的每一位 与 除数 的 乘积、余数。
  • 商 与 除数 的乘积,接近于 且 小于 被除数。
  • 最多、至少: 22 个学生去划船,每条船 "最多" 坐 4 人。他们 "至少" 要租 6 条船。

7 万以内数的认识

  • 算盘可以用来帮助数数和记数。
  • 算盘的组成: 档、梁、框、上珠、下珠。
  • 算盘 一个下珠表示 1; 一个上珠表示 5。
  • 万以内的数怎么读: 从高位读起,千位上是几,就读几千。中间有一个 0 或 两个 0,只读一个 "零"; 末尾不管有几个 0,都不读。
  • 万以内的数怎么写: 从高位写起,千位就在千位上写几,中间或末尾哪一位上一个也没有,就在那一位上写 0。
  • 比大小: 四位数 大于 三位数。都是四位数则最高位大的更大。都是四位数且最高位相同则依次比较次高位。
  • 准确数 (精确) 与 近似数 (大约)。
  • 整百、整千数 加减法
  • "数位" 在表示数上很重要。

8 克和千克

  • 表示物品有多重,可以用质量单位 克 (g) 或 千克 (kg)。
  • 1斤 = 10两、1斤 = 500克、2斤 = 1千克
  • 七八个鸡蛋大约重 500 克。

9 数学广角 -- 推理

  • 四宫格
  • 数独游戏

义务教育教科书 数学 三年级 上册

人民教育出版社
2016年7月第6次印刷

1 时、分、秒

  • 观察生活中各种活动所需时长。
  • 时间的加减。

2 万以内的加法和减法 (一)

  • 两位数 加减法 口算 复习。
  • 三位数 加减法 (进位、退位/借位)。
  • 相同数位上的数才能相加减。
  • 估算。

3 测量

  • 厘米 (cm)、毫米 (mm)、分米 (dm)、米 (m)、千米 (km、公里)。
  • 10毫米 = 1厘米
  • 10厘米 = 1分米
  • 1分米 = 1米
  • 1000米 = 1千米
  • 吨 (t)、
  • 1000千克 = 1吨

4 万以内的加法和减法 (二)

  • 加法竖式: 相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十,就要向前一位进 1。
  • 减法竖式: 相同数位对齐,从个位减起,哪一位上的数不够减,就要从前一位退 1。
  • 加法验算: 交换加数的位置,再算一遍。
  • 减法验算: 可以用被减数减去差,看是不是等于减数。也可以用加法验算。
  • 做练习时要养成验算的好习惯。
  • 计算策略: 大约、近似数、精确计算。
  • 进位、退位/借位。
  • 万以内的加减法 和 百以内的加减法 的 计算法则 是一致的。

5 倍的认识

  • 要求倍数,用除法计算。
  • 用画图的方法解决生活中的实际问题。

6 多位数乘一位数

  • 口算乘法
  • 用一位数乘整十、整百、整千的数。
  • 笔算乘法。乘法竖式。
  • 多位数乘一位数的乘法: 从个位起,用一位数依次乘多位数的每一位。哪一位上乘得的积满几十,就向前一位进几。
  • 在乘法里,乘数也叫做因数。
  • 0 和任何数相乘都得 0。
  • 估算

数字编码

  • 邮政编码 由 六位数字组成: 前两位表示省 (自治区、直辖市); 第三位表示邮区; 第四位表示县 (市); 最后两位表示投递局 (所)。

7 长方形和正方形

  • 四边形的特点: 有 4 条直的边、有 4 个角。
  • 长方形的特点: 对边相等。
  • 正方形的特点: 4 条边都相等。
  • 长方形 和 正方形 都有 4 个直角。
  • 周长: 封闭图形一周的长度,是它的周长。
  • 用尺量周长。
  • 计算周长。长方形的周长 = (长 + 宽) * 2正方形的周长 = 边 * 4

8 分数的初步认识

  • 几分之一、几分之几。
  • 把 * 平均分成 N 份,每份是它的 N 分之一,写作 1/N。
  • 分数包括 分子、分数线、分母,读作 N 分之一。
  • 比较分数的大小 (> <)。
  • 分数的简单计算。
  • 阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。
  • 分数的简单应用: 分数的乘除。

9 数学广角 -- 集合

  • 集合思想
  • 重复出现 / 重叠问题 / 包含
  • 集合图 / 韦恩图 (Venn Diagram, 文氏图)
  • 集合问题的解题方法一: 两部分相加后减去重复部分。
  • 集合问题的解题方法二: 一部分减去重复部分,再加上另一部分。

义务教育教科书 数学 三年级 下册

人民教育出版社
2016年11月第4次印刷

1 位置与方向 (一)

  • 地图通常是按上北下南,左西右东绘制的。
  • 指南针、司南、罗盘。
  • 西北、东北、西南、东南

2 除数是一位数的除法

  • 口算除法
  • 在除法算式中,如果被除数不变,除数越大,商越小; 除数越小,商反而越大。如果除数不变,被除数越小,商越小。(0 除外)
  • 被除数、除数、商 三者之间的关系: 被除数 / 除数 = 商被除数 = 除数 * 商
  • 笔算除法 (竖式、余数、验算)
  • 当没有余数时,可以用商和除数相乘来验算。
  • 有关 0 的除法: 1. 0 除以任何不是 0 的数,都得 0。2. 0 不能作除数。
  • 证明 "0 除以任何不是 0 的数都得 0"。1. 根据除法的意义 来证明: 0 / n 表示 "把 0 个物体平均分成 n 份,每份仍为 0 个,即 0 / n = 0。2. 根据乘除法之间的关系 "被除数 = 商 * 除数" 来证明: 已知 "0 和任何数相乘都得 0",即 0 * n = 0,所以 0 / n = 0
  • 探究 0 不能作除数的原因: 1. 对于 n / 0 = x,根据乘除法之间的关系 "被除数 = 商 * 除数" 得出 x * 0 = n,因为 0 和任何数相乘都不得 n,所以 n / 0 不可能得到商。2. 对于 0 / 0 = x,根据乘除法之间的关系 "被除数 = 商 * 除数" 得出 x * 0 = 0,因为 0 和任何数相乘都得 0,所以 0 / 0 不可能得到一个确定的商。

3 复式统计表

  • 《二年级 下册》 的 "1 数据收集整理" 中介绍的 "统计表" 为 "单式统计表"。
  • "复式统计表" 可以表示两个或多个统计项目数据,"单式统计表" 只能表示一个统计项目数据。"复式统计表" 把两个或多个有联系的 "单式统计表" 合并在一个统计表里,更简洁,更有利于对所收集的数据进行观察、比较和分析。
  • "复式统计表" 的 "表头": 通常把表格左上角一格用斜线分成三部分,分别用于说明 横栏类别、竖栏类别、数据,例如 活动、性别、人数。

4 两位数乘两位数

  • 口算乘法、笔算乘法
  • 综合算式 (连乘)
  • 乘除混合运算

5 面积

  • 常用的面积单位: 平方厘米 (cm2)、平方分米 (dm2)、平方米 (m2)。
  • 长方形的面积 = 长 * 宽
  • 正方形的面积 = 边长 * 边长
  • 面积单位间的进率: 1 平方米 = 1 平方分米1 平方分米 = 100 平方厘米

6 年、月、日

  • 年、月、日 是常用的时间单位。
  • 要知道哪个月有多少天,可以用拳头帮助记忆。凸起的地方每月是 31 天,凹下的地方每月是 30 天 (2 月除外)。
  • 2 月,有 28 天的是平年,有 29 天的是闰年。平年全年有 365 天,闰年全年有 366 天。
  • 公历年份是 4 的倍数的一般都是闰年; 但公历年份是 100 的倍数时,必须是 400 的倍数才是闰年。
  • 24 时计时法: 为了简明且不易出错,经常采用从 0 时到 24 时的计时法,通常叫做 "24 时计时法"。半夜 12 时也叫 0 时。
  • 地球在绕太阳转动的同时,还不停地自西向东自转。人们把地球相对太阳自转一圈所需要的时间定为一日。
  • 地球在绕太阳转动的同时,还不停地自西向东自转。地球上各地日出日落的时间不一致,因而全世界不能统一用一个时间。科学家把全球划分为 24 个时区,每个时区用同一个时间,相邻时区相差一小时。有的国家为了方便,在自已的国度内统一使用首都所在时区的时间。

7 小数的初步认识

  • 像 3.45、0.85、... 这样的数叫做 "小数"。
  • 3.45 读作 三点四五。
  • 小数点
  • 1分米 是 1/10米,还可以写成 0.1米。
  • 1角 是 1/10元,还可以写成 0.1元。
  • 简单的小数加、减法: 列竖式时,小数点要对齐。
  • 我国古代用小棒表示数。为了表示小数,就把小数点后面的数放低一格。这是世界上最早的小数表示方法。在西方,小数出现很晚。最早使用小圆点作为小数点的是德国数学家克拉维斯。

8 数学广角 -- 搭配 (二)

  • 排列数 与 组合数
  • 排列与组合的区别: 排列与事物的顺序有关,而组合与事物的顺序无关。

义务教育教科书 数学 四年级 上册

人民教育出版社
2017年7月第9次印刷

1 大数的认识

  • 计数单位 是指 计算物体个数的单位。
  • 计数单位 有 个 (一)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿...。
  • 每相邻两个 计数单位 之间的 进率 都是 10。
  • 每相邻两个 计数单位 之间是 十进制 的关系。
  • 十进制计数法: 像这样每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做 十进制计数法。
  • 数位: 在用数字表示数的时候,这些计数单位要按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做 数位。
  • 数位: 是指 一个数中每个数字所占的位置。同一个数字,所在的数位不同,表示的意义也不同。如 "1" 这个数字,写在万位上表示 1 个万,写在千万位上表示 1 个千万。
  • 位数: 表示一个数占有数位的总数,如 19612368 共占有 8 个数位,它是一个八位数。
  • 数级 & 数位: 个级 (个位、十位、百位、千位)、万级 (万位、十万位、百万位、千万位)、亿级 (亿位...)。
  • 数级: 按照我国的计数习惯,从右边起,每四个数位是一级。也就是从低位到高位进行分级。"个级"、"万级"、"亿级" 都叫 "数级"。
  • 数级和数位顺序表
  • 万以内数的读法: 从高位起,按照数位的顺序去读,千位是几就读几千,百位是几就读几百...中间有一个 0 或者连续几个 0,都只读一个 0,末尾不管有几个 0,都不读。
  • 亿以内数的读法: 1. 画分级线。读亿以内的数,先对这个数分级,一般用分级线从低位到高位每四个数位分一级,分别是个级、万级。2. 分级读数。含有两级的数的读法: a. 先读万级,再读个级; b. 万级的数,要按照个级的数的读法来读,再在后面加上一个 "万" 字; c. 每级末尾不管有几个 0,都不读,其他数位上有一个 0 或连续几个 0,都只读一个零。当个级上的数字全部为 0 时,就不用读出个级了。
  • 万级的数 和 个级的数,在读法上,相同点是 万级的数 按照 个级的数 的读法来读,不同点是 万级的数 要在后面加上一个 "万" 字。
  • 分级线要画成虚线。
  • 亿以内数的写法 / 含有两级的数的写法: 1. 先写万级,再写个级。可先找到 "万" 字,"万" 字前面的数是多少就写多少,再在后面写个级的数。写个级时一定要保证是四个数字; 2. 哪个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写 0 占位。
  • 大数读写并不难,数位顺序想在前。四位一级要牢记,读 "零" 写 "0" 是关键。
  • 生活中我们有时会看到三位一分节的大数。这与使用英语的国家 (如英国、美国等) 以三位分级读数的方法有关。
  • 比较大小: 位数相同的两个数,从最高位比起,最高位上的数大的那个数就大,如果最高位上的数相同,就比较下一个数位上的数。
  • 有时为了读写方便,把整万的数改写成用 "万" 作单位的数。
  • 四舍五入: 这种求近似数的方法叫 "四舍五入" 法。是 "舍" 还是 "入",要看省略的尾数部分的最高位上的数是小于 5 还是等于或大于 5。
  • 数的产生: 巴比伦数字、中国数字、罗马数字、阿拉伯数字。
  • 自然数: 表示物体个数的 1、2、3、...都是 自然数。
  • 一个物体也没有,用 0 表示,0 也是自然数。
  • 所有的自然数都是整数。
  • 最小的自然数是 0,没有最大的自然数,自然数的个数是无限的。
  • 大约在 3 世纪时,印度人发明了一种特殊的数字。后来,这种印度数字传到了阿拉伯。大约在 12 世纪时,阿拉伯商人又把印度数字带到了欧洲,欧洲人称它们为 "阿拉伯数字"。慢慢地,阿拉伯数字成为一种通用的数字。
  • 2000 多年前,我国古人用 算筹 记数。起先没有 0 的记法。后来曾用不同的方式表示 0。
  • 二千多年前,中国人用算筹计算。一千多年前,中国人又发明了算盘。17 世纪初,英国人发明了计算尺。17 世纪中期,欧洲人发明了机械计算器。20 世纪 40 年代,诞生了第一台电子计算机。20 世纪 70 年代,发明了电子计算器。
  • 计算器 上的 M+MRMC 的作用: M+ 存入、MR 提取、MC 清除。有的计算器 MRMC 合用一个键 MRC,按第一次相当于 MR,按第二次相当于 MC

2 公顷和平方千米

  • 1公顷 = 100米 * 100米 = 10000平方米
  • 1平方公里 = 1千米 * 1千米 = 1,000,000平方米 = 100公顷
  • 早在两千多年前,我国劳动人民就会计算土地的面积。当时用亩作单位,一亩约等于 667 平方米。亩这个单位已经不是我国的法定计量单位了。

3 角的度量

  • 线段: 线段是直的,有两个端点, 不能向两端延伸, 可以测量其长度。为了表述方便,可以用字母来表示线段,如 "线段AB"。
  • 直线: 直线是直的,没有端点, 可以向两端无限延伸,不能测量其长度。把线段向两端无限延伸,就得到一条直线。可以表示如 "直线AB",也可以表示如 "直线l"。
  • 射线: 射线是直的,只有一个端点,只能向一端无限延伸,不能测量其长度。把线段向一端无限延伸,就得到一条射线。射线可以用端点和射线上的另一点来表示,如 "射线AB"。在读写射线时,表示射线端点的字母在前。
  • 线段、射线、直线 的区别和联系: 区别: 端点个数、延长情况、长度。联系: 线段和射线都是直线的一部分。
  • 角: 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点。这两条射线叫做角的边。角通常用符号 "∠" 来表示,例如 "∠1"。
  • 要准确测量一个角的大小,应该用一个合适的角作单位来量。人们将圆平均分成 360 份,将其中 1 份所对的角作为度量角的单位,它的大小就是 1 度,记作 1°。
  • 量角的步骤: 1. 把量角器的中心与角的顶点重合,0° 刻度线与角的一条边重合。2. 角的另一边所对的量角器上的刻度,就是这个角的度数。
  • 锐角: 大于 0° 且小于 90° 的角叫做锐角。
  • 直角: 等于 90° 的角叫做直角。
  • 钝角: 大于 90° 且小于 180° 的角叫做钝角。
  • 平角: 一条射线绕它的端点旋转半周,形成的角叫做 平角。
  • 周角: 一条射线绕它的端点旋转一周,形成的角叫做 周角。
  • 1直角 = 90°、1平角 = 180°、1周角 = 360°、1周角 = 2平角 = 4直角。
  • 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角
  • 画角的步骤: 1. 画一条射线,使量角器的中心和射线的端点重合,0° 刻度线和射线重合。2. 在量角器 60° 刻度线的地方点一个点。3. 以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。

4 三位数乘两位数

  • 估算: 145 * 12 ≈ 150 * 10
  • "格子乘法" 最早记载在 1150 年 印度数学家 婆什迦罗 的 《丽罗娃提》 一书中。12 世纪以后广泛流传于阿拉伯地区,后来通过阿拉伯人传人欧洲,并很快在欧洲流行。15 世纪中叶,意大利数学家帕乔利在 《算术、几何及比例性质摘要》 一书中介绍了该计算方法。这种方法后来传入我国,在明朝数学家 程大位 的 《算法统宗》 一书中被称为 "铺地锦"。
  • 积的变化规律: 一个因数不变,另一个因数乘 (或除以) 几 (0 除外),积也乘 (或除以) 几。
  • 两种常见的数量关系: 单价 * 数量 = 总价速度 * 时间 = 路程
  • 每件商品的价钱,叫做单价; 买了多少,叫做数量; 一共用的钱数叫做总价。
  • 一共行了多长的路,叫做路程; 每小时 (或每分钟等) 行的路程,叫做速度; 行了几小时 (或几分钟等),叫做时间。

5 平行四边形和梯形

  • 平行: 在同一个平面内不相交的两条直线叫做 "平行线",也可以说这两条直线 "互相平行"。直线 a 与 b 互相平行,记作 a//b,读作 a 平行于 b。
  • 垂直: 两条直线相交成直角,就说这两条直线 "互相垂直",其中一条直线叫做另一条直线的 "垂线",这两条直线的交点叫做 "垂足"。直线 a 与 b 互相垂直,记作 a 丄 b,读作 a 垂直于 b。
  • 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫做这点到直线的距离。
  • 平行四边形: 两组对边分别平行的四边形,叫做 "平行四边形"。
  • 平行四边形 的 高、底: 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线,这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的 "高",垂足所在的边叫做平行四边形的 "底"。
  • 等腰梯形: 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
  • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
  • 长方形也可以看作平行四边形。
  • 两条平行线之间的距离处处相等。
  • 莫比乌斯带 是 德国数学家 莫比乌斯 在 1858 年发现的。

6 除数是两位数的除法

  • 口算除法
  • 笔算除法
  • 试商: 除数是两位数的除法,一般按照 "四舍五入" 法,把除数看作和它接近的整十数来试商。大了改小、小了改大。
  • 商不变的规律: 被除数 和 除数 同时 乘 (或除以) 一个相同的数 (0 除外),商不变。
  • 除数不变,商随被除数变化的规律: 被除数乘 (或除以) 几 (0 除外),商也乘 (或除以) 几。
  • 被除数不变,商随除数变化的规律: 除数乘 (或除以) 几 (0 除外),商反而除以 (或乘) 几。

7 条形统计图

  • Tony 的理解: 此处之所以未命名为 "柱状图",是因为 当条形水平展示时,"柱状" 不如 "条形" 贴切。
  • 《二年级 下册》 的 "1 数据收集整理" 中 已学习过 调查收集数据、用 "正" 字 计数/记录数据、单式统计表。
  • 《三年级 下册》 的 "3 复式统计表" 中 已学习过 复式统计表。

8 数学广角 -- 优化

  • 沏茶问题: 事情可以按 "顺序" 做,有的事情也可以 "同时" 做。

义务教育教科书 数学 四年级 下册

人民教育出版社
2017年12月第8次印刷

1 四则运算

  • 加、减法的意义和各部分间的关系。
  • 把两个数合并成一个数的运算,叫做加法。相加的两个数叫做加数。加得的数叫做和。
  • 已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。在减法中,已知的和叫做被减数。
  • 减法是加法的逆运算。
  • 加法各部分间的关系: 和 = 加数 + 加数加数 = 和 - 另一个加数
  • 减法各部分间的关系: 差 = 被减数 - 减数减数 = 被减数 - 差被减数 = 减数 + 差
  • 乘、除法的意义和各部分间的关系。
  • 求几个相同加数的和的简便运算,叫做乘法。相乘的两个数叫做因数。乘得的数叫做积。
  • 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。在除法中,已知的积叫做被除数。
  • 除法是乘法的逆运算。
  • 乘法各部分间的关系: 积 = 因数 * 因数因数 = 积 / 另一个因数
  • 除法各部分间的关系: 商 = 被除数 / 除数除数 = 被除数 / 商被除数 = 商 * 除数
  • 一个数加上 0,还得原数。
  • 被减数等于减数,差是 0。
  • 一个数和 0 相乘,仍得 0。
  • 0 除以一个非 0 的数,还得 0。
  • 0 不能作除数。例如,5 / 0 不可能得到商,因为找不到一个数同 0 相乘得到 5。0 / 0 不可能得到一个确定的商,因为任何数同 0 相乘都得 0。
  • 运算顺序。
  • 通过前面的学习,我们已经知道了四则混合运算的顺序。下面我们来总结并继续学习有括号的混合运算的顺序。
  • 一个算式里,既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
  • 小括号 "()" 是公元 17 世纪由荷兰人吉拉特首先使用的。
  • 中括号 "[]" 是公元 17 世纪英国数学家瓦里士最先使用的。
  • 大括号 "{}",又称为 花括号,是法国数学家韦达在 1593 年首先使用的。
  • 共有 32 人,小船 24 元,大船 30 元,小船限乘 4 人,大船限乘 6 人。怎样租船最省钱。
  • 4 张扑克牌计算 24 点。
  • 减法与除法之间有什么关系?

2 观察物体 (二)

  • 从前面看、从上面看、从左面看。
  • 从同一个位置观察不同的物体,看到的图形可能一样。
  • 从不同的位置观察,才能更全面地认识一个物体。

3 运算定律

  • 加法运算定律
  • 加法交换律: 两个数相加,交换加数的位置,和不变。a + b = b + a
  • 加法结合律: 三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。(a + b) + c = a + (b + c)
  • 减法性质: 一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和,差不变。a - b - c = a - (b + c)a - b - c = a - c - b
  • 乘法运算定律
  • 乘法交换律: 两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变。a * b = b * a
  • 乘法结合律: 三个数相乘,先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变。(a * b) * c = a * (b * c)
  • 比较加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律,你发现了什么?
  • 乘法分配律: 两个数的和与一个数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相加。(a + b) * c = a * c + b * c
  • 除法性质: 一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积,商不变。a / b / c = a / (b * c)a / b / c = a / c / b
  • 以前学的很多计算方法都利用了运算定律。利用运算定律可使一些计算变得更简便。

4 小数的意义和性质

  • 小数的意义: 在进行测量和计算时,往往不能正好得到整数的结果,这时常用小数来表示。
  • 分母是 10、100、1000 ... 的分数可以用小数表示。
  • 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一 ... 分别写作 0.1、0.01、0.001 ... 每相邻两个计数单位之间的进率是 10。
  • 小数是我国最早提出和使用的。在公元 3 世纪,我国数学家刘徽就提出把整数个位以下无法标出名称的部分称为微数。到了公元 13 世纪,我国元代数学家朱世杰提出了小数的名称。
  • 小数的读法和写法
  • 小数由整数部分、小数点、小数部分组成。
  • 小数的数位顺序表 (十分位、百分位、千分位、万分位,十分之一、百分之一、千分之一、万分之一)。
  • 读小数时,小数部分要依次读出每个数字。
  • 写小数时,小数部分要依次写出每个数字。
  • 小数的性质: 小数的末尾添上 0 或去掉 0,小数的大小不变。
  • 应用小数的性质,可以根据需要改写小数 (去掉小数末尾的 0,就可以把小数化简)。
  • 小数的大小比较: 先比较整数部分。整数部分相同,就比较十分位。十分位相同,就比较...
  • 小数点移动引起小数大小的变化: 小数点每向右移动一位,相当于把原数乘 10。小数点每向左移动一位,相当于把原数除 10。
  • 小数与单位换算: 乘/除 100 可以直接把小数点右/左移 2 位。
  • 小数的近似数: 求整数与小数的近似数,都可以用 "四舍五入" 法。小于 5 则舍去、大于 5 则向前一位进 1。注意: 在表示近似数时,小数末尾的 0 不能去掉。求近似数时,保留整数,表示精确到个位;保留一位小数,表示精确到十分位;保留两位小数,表示精确到百分位...

5 三角形

  • 《一年级 下册》 的 "1 认识图形 (二)" 中已学习过 三角形。
  • 三角形: 由 3 条线段围成的图形 (每相邻两条线段的端点相连) 叫做 三角形。
  • 三角形有三个顶点、三个角 和 三条边。
  • 高、底: 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,这条对边叫做三角形的底。三角形的高与底是对应的。
  • 为了表达方便,用字母 A、B、C 分别表示三角形的 3 个顶点,这个三角形可以表示成 "三角形 ABC"。
  • 三角形的特性: 三角形具有稳定性。相对的,四边形容易变形。实际生活中,需要加固的则运用三角形的稳定性,需要伸缩变形的则运用四边形易变形的特性。
  • 三角形各边的关系: 三角形任意两边的和大于第三边。
  • 只有 "任意两边之和大于第三边" 时,才能围成三角形,否则就不能围成三角形。
  • 如果三条线段可以围成三角形,则其 "任意两边之和大于第三边","任意两边之差小于第三边"。
  • 判断一个图形是不是三角形要看两点: 1. 是不是三条线段; 2. 是不是围成了封闭图形。
  • 三角形的分类 (按角分): 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
  • 三角形的分类 (按边分): 不等边三角形、等腰三角形 (底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形)。
  • 直角三角形: 夹直角的两条边叫 "直角边",直角所对的边叫 "斜边"; 斜边比直角边长。
  • 等腰三角形: 相等的两条边叫做 "腰",另一条边叫做 "底"; 等腰三角形两腰相等。两腰的夹角叫做 "顶角",底边上的两个角叫做 "底角"; 等腰三角形两底角相等。
  • 等边三角形: 也叫 "正三角形",三条边相等,三个角也相等,都是 60°。
  • 三角形的内角和是 180°。任何三角形 三个内角的和 都是 180°。
  • 四边形的内角和是 360°。
  • n 边形的内角和是 (n - 2) * 180° (n ≥ 3)。求多边形内角和,可以从多边形一个顶点出发将多边形分成若干个三角形,再求 n 个三角形的内角和。
  • 七巧板 制作的尺寸比例很容易掌握,只要先画一个正方形边框,然后反复取中点、连接成线段,就能画出整个图来。
  • 七巧板 有记载的图形数目已经超过 1000 个。
  • 七巧板 的玩法: 通常是在拼成图形以后,把外围轮廓描下来,里面全部涂黑,看不出拼接的痕迹,让别人去重新尝试用七巧板拼成这样的图形。

6 小数的加法和减法

  • 小数加减法的 计算方法: 1. 把小数点对齐,也就是相同的数位对齐。2. 再按照整数加、减法的计算方法进行计算。3. 最后在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。4. 得数的小数部分末尾有 0,一般要把 0 去掉。
  • 小数加减法的 验算方法: 与整数加、减法的验算方法相同。
  • 小数加减混合运算 的 运算顺序 与 整数加减混合运算 的 运算顺序 完全相同。
  • 整数 加法运算定律 及 减法运算性质 对于 小数加减法 同样适用。

7 图形的运动 (二)

  • 《二年级 下册》 的 "3 图形的运动 (一)" 中 已学习过 "轴对称图形、剪纸"、"平移、旋转"。
  • 轴对称图形: 一个图形沿一条直线对折,直线两边的部分能够完全重合,这样的图形叫做 "轴对称图形"。这条直线就是它的 "对称轴"。有的图形只有一条对称轴,有的图形不只一条对称轴。
  • 轴对称图形的特点: 1. 沿对称轴对折,两边完全重合。2. 对应点到对称轴的距离相等。3. 对应点的连线垂直于对称轴。
  • 画 轴对称图形 的另一半,要在 对称轴的另一边 找到 对称点,再顺次连接起来。
  • 平移: 当物体沿水平方或竖直方向运动时,本身的方向及形状不发生改变,这种运动就是平移。
  • 平移的特点: 1. 平移后物体本身的方向及形状不发生改变,运动的路线是一条直线。2. 平移后各对应点之间的格数就是平移的格数。
  • 平移的应用: 利用平移计算不规则图形的面积或周长。
  • 对于不规则的平面图形,有时可以利用平移的方法,把它转化成规则图形,再计算面积。
  • 对于不规则的平面图形,有时可以利用平移的方法,把同一方向的线段平移到一起,把它转化成规则图形,再计算它的周长。

8 平均数与条形统计图

  • 平均数: 是描述 一组数据 集中趋势 的 统计量。它是一个代表值,不是一个真实的数。平均数反映的是一组数据的一般情况,并不代表一个具体数量。小学数学里所讲的平均数一般是指 算术平均数,也就是 一组数据的和 除以 这组数据的个数 所得的商。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况,也可以用它进行不同组数据的比较,从而看出组与组之间的差别。
  • 平均数 是反映 一组数据 集中趋势 的 统计量,但容易受偏大或偏小数据的影响,实际生活中要结合具体情况进行计算。
  • 求平均数的方法: 数据总和 / 总份数 = 平均数
  • 复式条形统计图:
  • 《四年级 上册》 的 "7 条形统计图" 中 已学习过 单式条形统计图
  • 纵向复式条形统计图
  • 横向复式条形统计图

9 数学广角 -- 鸡兔同笼

  • "鸡兔同笼" 问题的特点: 题中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。

义务教育教科书 数学 五年级 上册

人民教育出版社
2017年6月第8次印刷

1 小数乘法

  • 小数乘法的计算方法: 1. 先按照整数乘法算出积,再点小数点。2. 点小数点时,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
  • 一个数 (0 除外) 乘 大于/小于 1 的数,积比原来的数 大/小。
  • 积的近似数: 在实际应用中,小数乘法的积往往不需要保留很多的小数位数,这时可以根据需要,按 "四舍五入" 法保留一定的小数位数,求出积的近似数。
  • 小数四则混合运算的顺序跟整数是一样的。
  • 整数乘法的 交换律、结合律 和 分配律,对于小数乘法也适用。
  • 用估算解决购物中的数学问题。

2 位置

  • TonyRemark: 本书中采用 "列、行" 而非 "行、列" 的原因 可能是为了与 X、Y 轴相对应。
  • 列和行的意义: 教室里,同学们的座位横、竖都成排,我们把竖排叫做列,横排叫做行。确定第几列时,一般从左往右数,依次为 第1列、第2列、第3列...确定第几行时,一般从前往后数,依次为 第1行、第2行、第3行... - 摘自 《黄冈小状元 数学详解 龙门书局》
  • 数对的意义: 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。
  • 用数对表示物体的位置的方法: 先数出物体所在的列数,再数出物体所在的行数,先表示第几列,再表示第几行,用逗号把表示列数、行数的数字开,再用括号括起来。例如 张亮在 第2列、第3行 的位置,可以用 "数对(2,3)" 表示。
  • 用数对表示物体的位置时,先写列数,后写行数,不能颠倒它们的位置。
  • 方格纸
  • 本书中数对的应用: 学生在教室中的座位、电影院里座位的位置、动物园里各场馆的位置、识字表中文字的位置、各种中药在哪个抽屉里、国际象棋里各棋子的位置、生活中建筑物的方位和行走路线、围棋里各棋子的位置、地球上的经度和纬度。
  • 数对的平移变化计算

3 小数除法

  • 除数是整数的 小数除法: 小数除以整数,按照整数除法的方法计算,商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 差倍问题: 已知两个数的差及它们的倍数关系,求这两个数的问题,就是差倍问题。在差倍问题中,小数 = 两数差 / (倍数 - 1)大数 = 差 + 小数大数 = 小数 * 倍数
  • 《黄冈小状元 数学详解 龙门书局》 P45 差倍问题示例: 一个小数,如果把小数点向右移动一位后,所得的数比原数多 6.48,求这个小数。答案: 6.48 / (10 - 1) = 0.72
  • 一个数除以小数 的计算方法: 1. 先移动除数的小数点,使它变成整数; 2. 除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位 (位数不够的,在被除数的末尾用 0 补足); 3. 然后按除数是整数的小数除法进行计算。
  • 商的近似数: 求商的近似数时,计算到比保留的小数位数多一位,再将最后一位 "四舍五入"。
  • 循环小数: 一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做 "循环小数"。
  • 循环节: 一个 循环小数 的小数部分,依次不断重复出现的数字,就是这个 循环小数 的 "循环节"。
  • 循环小数 的 简便形式: 写循环小数时,可以只写第一个循环节,并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
  • 有限小数: 小数部分的位数有限的小数是 "有限小数"。
  • 无限小数: 小数部分的位数无限的小数是 "无限小数"。
  • 无限小数 可分为 无限循环小数 与 无限不循环小数。
  • 数字黑洞: 指自然数经过某种数学运算之后陷入了一种循环的境况。例如,任意选四个不同的数字,按从大到小的顺序排成一个数,再按从小到大的顺序排成一个数,用大数减去小数 (如 1、2、3、0,就用 3210 - 123)。用所得结果的四位数重复上述过程,最多七步必得 6174。即 7641 - 1467 = 6174。仿佛掉进了黑洞,永远出不来。
  • 数字黑洞 的证明 (待研究)

4 可能性

  • 可能 / 不可能 / 一定
  • 感受 随机事件 发生的 确定性 与 不确定性。
  • 准确判断 事件发生的可能性 的大小。
  • 列举 出事件可能发生的所有结果,只要有不同的结果存在,说明这些结果都 有可能 发生,当结果唯一时,才能确定这种结果发生的肯定性。确定的事件用 "一定" 或 "不可能" 来描述,不确定的事件用 "可能" 来描述。
  • 事件发生的可能性是有大小的。事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关,个体在总体中所占数量越多,出现的可能性就越大; 反之可能性就越小。

5 简易方程

  • 用字母表示数。例如 a + 3
  • 省略乘号时,一般把数写在字母前面。例如 x * 6 可以写成 6x
  • 只有乘号可以省略,加、减、除 号不可以省略。
  • 用字母表示 学过的 运算定律,简明易记、便于应用。例如 加法交换律 可以表示为 a + b = b + a
  • 在含有字母的式子里,字母中间的乘号可以记作 ·,也可以省略不写。例如 a * b = b * a 可以写成 a·b = b·aab = ba
  • 用字母表示出正方形的面积和周长。可以成 S = a·aS = a2C = a·4C = 4a
  • 解简易方程。
  • 方程: 含有未知数的等式 就是 "方程"。
  • 所有的方程一定是等式,但等式不一定是方程。
  • 早在三千六百多年前,埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代,大约两千年前成书的 《九章算术》 中,就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前,法国的数学家笛卡儿第一个提倡用 x、y、z 等字母代表未知数,才形成了现在的方程。
  • 等式的性质 1: 等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
  • 等式的性质 2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,左右两边仍然相等。
  • 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做 "方程的解"。
  • 解方程: 求方程的解的过程叫做 "解方程"。

6 多边形的面积

  • 用 数方格法 和 割补法 求平行四边形的面积。
  • 平行四边形的面积计算公式 可以写成 S = ah平行四边形的面积 = 底 * 高
  • 三角形的面积计算公式 可以写成 S = ah/2
  • 三角形的面积计算公式 推导过程: 1. 两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形; 2. 割补法; 3. 折叠法。
  • 大约在两千年前,我国数学名著《九章算术》 中的 "方田章" 就论述了平面图形 (长方形、三角形) 面积的算法。
  • 梯形的面积计算公式 可以写成 S = (a + b) * h / 2梯形的面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2
  • 梯形的面积计算公式 推导过程: 1. 用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。2. 把一个梯形分割成两个三角形; 3. 把一个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形; 4. 割补法 (转化成 三角形、平行四边形、长方形)。
  • 我国古代数学家刘徽利用 "出入相补原理" 来计算 平面图形的面积。"出入相补原理" 就是把一个图形分割、移补,而面积保持不变,来计算出它的面积。
  • 组合图形的面积
  • 不规则形状的面积,1. 数方格法; 2. 转化法 (转化为规则图形来估算)。

7 数学广角 - 植树问题

  • 不封闭路线 两端都植树的问题: 间隔数 + 1
  • 不封闭路线 两端不植树的问题: 间隔数 - 1
  • 封闭路线 植树的问题: 间隔数