数学 - 集合

创建时间:
2018-09-23 09:50
最近更新:
2018-09-24 09:33

Note

本文是 "《人教版高中数学A版必修1__普通高中课程标准实验教科书_数学1_必修_A版_人民教育出版社_200405_扫描版.pdf》 1.1 集合" 的读书笔记。

集合的含义

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P2。

  • 一般地,我们把研究对象统称为 元素 (element),把一些元素组成的总体叫做 集合 (set) (简称为 集)。
  • 给定的集合,它的元素必须是确定的。也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如 "身材较高的人" 不能构成集合,因为组成它的元素是不确定的。
  • 一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说,集合中的元素是不重复出现的。
  • 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是 相等的。
  • 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此含有多个元素的集合都有 不同的 列举方法。
  • 我们通常用 大写拉丁字母 表示 集合,用 小写拉丁字母 表示 集合中的元素。
  • 如果 a 是 集合A 的元素,就说 "a 属于 (belong to) 集合A",记作 a∈A
  • 如果 a 不是 集合A 的元素,就说 "a 不属于 (not belong to) 集合A",记作 a∉A

数学中一些常用的数集及其记法

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P3。

  • 全体 非负整数 组成的集合,称为 非负整数集 或 自然数集, 记作 N,即 natural number
  • 全体 正整数 组成的集合,称为 正整数集, 记作 N*N+
  • 全体 整数 组成的集合,称为 整数集, 记作 Z
  • 全体 有理数 组成的集合,称为 有理数集, 记作 Q
  • 全体 实数 组成的集合,称为 实数集, 记作 R,即 real number

表示集合的方式

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P3。

共三种方式

  1. 自然语言。例如 "小于 20 的所有质数"、"亚洲国家的首都"。
  2. 列举法。例如 把 "地球上的四大洋" 组成的集合表示为 { 太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋 }
  3. 描述法。有些集合中的元素是列举不完的,需要用该集合中元素所具有的共同特征来描述。例如 "不等式 x-7<3 的解集" 可以表示为 D = {x∈R | x<10}、所有奇数的集合 可以表示为 E = { x∈Z | x=2k+1, k∈Z }

描述法

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P4。

  • 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 称为 描述法
  • 描述法 的 具体方法是: 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

集合间的基本关系: 包含关系、相等关系、子集、真子集、空集

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P6。

  • 一般地,对于两个集合 A、B,如果 集合A 中任意一个元素都是 集合B 中的元素,我们就说 这两个集合有 包含关系,称 集合A 为 集合B 的 子集 (subset),记作 A⊆BB⊇A,读作 "A 含于 B" 或 "B 包含 A"。
  • 如果 集合A 是 集合B 的子集 (A⊆B),且 集合B 是 集合A 的子集 (B⊆A),此时,集合A 与 集合B 中的元素 是一样的,因此,集合A 与 集合B 相等,记作 A=B
  • 如果 集合 A⊆B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,我们称 集合A 是 集合B 的 真子集 (proper subset) (proper: 真正的; 严格意义上的),记作 A⫋BB⫌A
  • 我们把 不含任何元素的集合 叫做 空集 (empty set),记为 Φ,并规定: 空集 是 任何集合的子集。
  • 任何一个集合 是 它本身的子集,即 A⊆A
  • 对于集合 A、B、C,如果 A⊆B,且 B⊆C,那么 A⊆C
  • 示例: 集合 {a, b} 的全部子集为 Ø{a}{b}{a, b},真子集为 Ø{a}{b}

集合的基本运算: 并集

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P9。

  • 一般地,由所有 "属于集合A" 或 "属于集合B" 的元素所组成的集合,称为 "集合 A 与 B 的 并集 (union set)",记作 A∪B (读作 A 并 B),即 A∪B = { x | x∈A, 或 x∈B}
  • 在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。
  • 集合的并集运算 类似于 实数的加法运算。
  • 示例: A∪B = {4, 5, 6, 8} ∪ {3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
  • 示例: A∪B = {x | -1<x<2} ∪ {x | 1<x<3} = {x | -1<x<3}

集合的基本运算: 交集

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P10。

  • 一般地,由 "属于集合A" 且 "属于集合B" 的所有元素组成的集合,称为 "A 与 B 的 交集 (intersection set)",记作 A∩B (读作 A 交 B),即 A∩B = { x | x∈A, 且 x∈B}
  • 示例: 设平面内 两条直线上的点的集合 分别为 L1、L2,这两条直线的位置关系 用集合运算可表示为: 1. 相交于一点 P L1∩L2 = {P}; 2. 平行 L1∩L2 = Ø; 3. 重合 L1∩L2 = L1 = L2

集合的基本运算: 全集、补集

摘自 《人教版高中数学A版必修1.pdf》 P11。

  • 一般地,如果一个集合 含有 我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为 全集 (universe set),通常记作 U
  • 对于一个集合 A,由 全集U 中 不属于 集合A 的所有元素 组成的集合 称为 "集合A 相对于 全集U 的 补集 (complementary set)",简称为 "集合A 的 补集",记作 ∁UA,即 ∁UA = {x | x∈U, 且 x∉A}